Một tập hợp các điểm dữ liệu rời rạc được nội suy trong một phần mở rộng. Các điểm dữ liệu thực tế đã biết trong đường cong có màu đỏ; đường cong màu xanh lam nối chúng là phép nội suy.
Trong lĩnh vực phân tích số toán học, nội suy (tiếng Anh: interpolation) là một quá trình hoặc phương pháp suy ra các điểm dữ liệu mới trong một phạm vi thông qua các điểm dữ liệu rời rạc, đã biết. Khi giải quyết các vấn đề khoa học và kỹ thuật, thường có nhiều điểm dữ liệu thu được bằng cách lấy mẫu, thử nghiệm và các phương pháp khác. Những dữ liệu này có thể đại diện cho một số hàm số giới hạn, bao gồm cả giá trị của các biến độc lập. Và dựa trên những dữ liệu này, chúng ta thường hy vọng nhận được một hàm liên tục (nghĩa là một đường cong); hoặc một phương trình rời rạc đặc hơn phù hợp với dữ liệu đã biết. Quá trình này được gọi là sự phù hợp.
Một vấn đề khác liên quan chặt chẽ đến phép nội suy là tính gần đúng của các hàm phức tạp bằng các hàm đơn giản. Giả sử công thức của một hàm đã cho đã biết, nhưng nó quá phức tạp để đánh giá một cách hiệu quả. Một số điểm dữ liệu đã biết từ hàm gốc có thể sử dụng một hàm đơn giản hơn để tạo nội suy.
Tất nhiên, nếu một hàm đơn giản được sử dụng để ước tính các điểm dữ liệu ban đầu, lỗi nội suy thường sẽ xảy ra; tuy nhiên, tùy thuộc vào lĩnh vực vấn đề và phương pháp nội suy được sử dụng, dữ liệu nội suy được suy ra bởi hàm đơn giản có thể kém hơn kết quả, độ chính xác nhỏ hơn.
Đầu tiên chúng ta hiểu phương pháp nội suy chủ yếu được sử dụng để làm gì: phương pháp nội suy là sử dụng các điểm đã biết để thiết lập một hàm nội suy phù hợp [công thức], các điểm chưa biết [công thức] từ hàm nội suy [công thức] có thể tìm ra giá trị hàm [công thức], thay thế gần đúng điểm chưa biết bằng [công thức] thu được.
Đối với các điểm [công thức] khác nhau trên mặt phẳng (không có hai điểm nào nằm trên một đường thẳng), chúng ta phải tìm được một [công thức] đa thức bậc [công thức] để hàm đa thức đi qua các điểm này. Những gì nội suy Lagrange và nội suy Newton phải làm là tìm hàm đa thức này.
Công thức nội suy Lagrange đề cập đến một loại đa thức nội suy trong đó các hàm cơ sở nút được đưa ra trên các nút, và sau đó các hàm cơ sở được kết hợp tuyến tính và hệ số kết hợp là giá trị của hàm nút. Nội suy tuyến tính còn được gọi là nội suy hai điểm.
Người ta biết rằng giá trị của hàm y = f (x) tại một điểm sai khác cho trước x0, x1 là y0 = f (x0), y1 = f (x1) nội suy tuyến tính là xây dựng một đa thức bậc nhất: P1 (x) = ax + b, sao cho nó thỏa mãn các điều kiện: P1 (x0) = y0, P1 (x1) = y1. Giải nghĩa hình học là một đường thẳng đi qua các điểm A (x0, y0), B (x1, y1) đã biết.
Tính toán nội suy tuyến tính rất thuận tiện và được sử dụng rộng rãi, nhưng vì nó sử dụng các đường thẳng để thay thế các đường cong, nó thường yêu cầu [x0, x1] tương đối nhỏ và f (x) thay đổi trơn tru trên [x0, x1], nếu không thì nội suy tuyến tính có thể sai số lớn.
Để khắc phục khuyết điểm này, đôi khi người ta dùng đường cong đơn giản để tính gần đúng với đường cong phức tạp, đường cong đơn giản nhất là đường cong bậc hai, đường cong bậc hai dùng để tính gần đúng đường cong phức tạp.
Công thức nội suy Lagrange rất dễ hiểu trong phân tích và hiểu lý thuyết, nhưng nếu nút nội suy thay đổi, công thức nội suy sẽ được tính toán lại và tạo ra, điều này sẽ chiếm rất nhiều phép tính trong tính toán thực tế.
Chẳng hạn: Bây giờ có các công thức nội suy được tạo bởi n nút, trong đó nút thứ n + 1 cũng nên được thêm vào. Nếu sử dụng nội suy Lagrangian, các công thức nội suy được tạo bởi n nút trước đó phải được điều chỉnh và loại bỏ hoàn toàn, và thế hệ mới chứa n Công thức nội suy nút +1, mang lại rất nhiều phép tính.
tưởng bình thường là khi cần thêm một nút, chúng ta chỉ cần sửa đổi công thức nội suy ban đầu để có một công thức nội suy mới, sự xuất hiện của phương pháp Newton là để khắc phục vấn đề này, công thức rất dễ lấy dựa trên công thức ban đầu.
Phương pháp nội suy đơn giản nhất là tìm giá trị dữ liệu gần nhất và gán giá trị tương tự. Phương pháp này còn được gọi là nội suy lân cận gần nhất. Trong các bài toán đơn giản, ít có khả năng sử dụng phương pháp này, vì nội suy tuyến tính gần như dễ dàng, nhưng trong nội suy đa biến chiều cao, đây có thể là một lựa chọn tốt để đo tốc độ và tính đơn giản.
Hãy xem xét ví dụ trên về ước lượng f (2.5). Vì 2,5 nằm giữa 2 và 3 nên hợp lý khi lấy f (2,5) giữa f (2) = 0,9093 và f (3) = 0,1411, và lấy 0,5252. Nói chung, nội suy tuyến tính sử dụng hai điểm dữ liệu, chẳng hạn như (xa, ya) và (xb, yb), Các độ dốc giống nhau và nội suy tuyến tính nhanh và đơn giản, nhưng không chính xác lắm. Một nhược điểm khác là xk không phân biệt được tại điểm nội suy.
